☛ Carrés égaux

Énoncé

1. Soit \(a\) et \(b\) deux nombres réels. Démontrer que l'on a :
\(a^2=b^2 \Leftrightarrow a=b\;\text{ou}\;a=-b\)

2. En utilisant la propriété précédente, résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes.
    a. \((x-1)^2=9\)
    b. \((3x+2)^2=3\)
    c. \(4(x+2)^2=16\)
    d. \(3(1-2x)^2=1\)

Solution

1. Soit \(a\) et \(b\) sont deux nombres réels.
\(a^2=b^2 \Leftrightarrow a^2-b^2=0 \Leftrightarrow (a-b)(a+b)=0 \Leftrightarrow a-b=0 \;\text{ou}\; a+b=0\)
\(\Leftrightarrow a=b\; \text{ou}\;a=-b\)

2. a. \((x-1)^2=9 \Leftrightarrow (x-1)^2=3^2 \Leftrightarrow x-1=3\; \text{ou}\;x-1=-3 \Leftrightarrow x=4\; \text{ou}\;x=-2\)
Donc \(\mathscr{S}=\{-2;4\}\).
b. \((3x+2)^2=3 \Leftrightarrow (3x+2)^2=\sqrt 3^2 \Leftrightarrow 3x+2=\sqrt 3\;\text{ou}\;3x+2=-\sqrt 3\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{\sqrt 3-2}{3}\; \text{ou}\;x=\dfrac{-\sqrt 3-2}{3}\)
Donc \(\mathscr{S}=\left\lbrace\dfrac{-\sqrt 3-2}{3};\dfrac{\sqrt 3-2}{3}\right\rbrace\).
c. \(4(x+2)^2=16 \Leftrightarrow (x+2)^2=\dfrac{16}{4}=4 \Leftrightarrow x+2=2\;\text{ou}\;x+2=-2\)
\(\Leftrightarrow x=0\; \text{ou}\; x=-4\)
Donc \(\mathscr{S}=\{-4;0\}\).
d. \(3(1-2x)^2=1 \Leftrightarrow (1-2x)^2=\dfrac{1}{3}\ \Leftrightarrow 1-2x=\sqrt{\dfrac{1}{3}}=\dfrac{1}{\sqrt 3}=\dfrac{\sqrt 3}{3}\;\text{ou}\; 1-2x=-\dfrac{\sqrt 3}{3}\)\(\Leftrightarrow 2x=1-\dfrac{\sqrt 3}{3}=\dfrac{3-\sqrt 3}{3}\;\text{ou}\;2x=\dfrac{3+\sqrt 3}{3} \Leftrightarrow x=\dfrac{3-\sqrt 3}{6}\;\text{ou}\;x=\dfrac{3+\sqrt 3}{6}\)
Donc \(\mathscr{S}=\left\lbrace\dfrac{3-\sqrt 3}{6};\dfrac{3+\sqrt 3}{6}\right\rbrace\).